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偏差値40台をとったこともある国公立医学部医学科に合格した現役医師がお送りする大学受験勉強法ブログです。               最強の勉強法とは「二元論を使うべし」と「データベースを作るべし」

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場合の数、確率のデータベースは 改めて、くわしいバージョンを作ります。

論理と集合に関しては、


大村平の 上の本を 読んでください。わかりやすいです。わたしは 思わず この本を読んで鼻血がでました。それくらい 名著です。
論理と集合を 理解したいなら、NDT hikaru と この本を 熟読してください。数学が 好きになります。

というわけで、

わたしのデータベースは 細野真宏、馬場敬之、清 史弘、大学への数学の著者群、西岡康夫、チャートの著者群 などなど によって 成り立っています。

物理、化学と違って、このひとこそ という人が いないというのが 特徴です。

数学Aは 数研出版の問題集の目次をまねしたんですけど、気に入らないので、チャートの目次を 利用することにします。

目次

1.数と式

「整式の加法、減法、乗法」 「因数分解」 「整式の割り算」 「実数」 「平方根の計算」

2.2次関数

「関数とグラフ」 「2次関数のグラフ」 「グラフの移動」 「2次関数の決定」 「2次関数の最大最小」 「いろいろな関数」 「2次関数のグラフと方程式」 「2次関数のグラフと不等式」 「2次方程式の解の存在範囲」

3.三角比

「三角比」 「三角比の性質」 「三角形と三角比」 「三角形の面積」 「空間図形と三角比」

4.式と証明

「恒等式」 「等式の証明」 「不等式の証明」 「整数の問題」 「条件と集合」 「必要条件、十分条件」 「命題と証明」

1.数と式

「整式の加法、減法、乗法」TOP

1.整式の整理。整式の表現方法。「<>法」

整式というのは

(係数 というか 定数)×(変数)を ひとつの単位とした和の塊です。

変数の 次数によって、分類されます。

(3次)+(2次)+(1次)+(0次)

整式の計算では、毎回、毎回、xxxx+ xxx +xx とか xを書くのは面倒なので、xを 省略して、以下のように 表現するほうがラクです。でも、フォーマルな 描き方ではないので、試験の答案では 書かないほうがいいです。下書きや センター試験のときは、この描き方をしたほうが、思考も、計算も高速化します。

以下、xの3次を xxx 、xの2次を xx 、xの1次を x 、で表現します。(htmlだと 表現するのが面倒なのでこうすることにします。わかりゃ 記号なんて なんだっていいんです)

        39xxxx+23xxx+          5x+51

=<39、           23、     0、     5、  51>

こうやって 係数だけを 抽出して書きます。これを 「係数抽出<>表現」と わたしは 呼びます。だれも こういう表現を教えてくれませんが、誰もがこういう表現を やっています。

上の、xxの係数は0なので、xxで表現するときは、ちょっと 空白を入れるのが味噌です。

こうすることで、計算ミスが防げます。

=<39、23、 0、5、  51>こうして xを 書かないだけでも、すっきりして 速くかけていいんですが、整式同士の積でも 割り算でも、和でも  差でも 効果覿面です。

たとえば 上の式に x+1を かける とします。

(39xxxx+23xxx+          5x+51)(x+1)は 面倒ですよね。

<39、23、 0、5、  51>×<1、1>は カンタンです。計算も簡単です。

=<39、23、 0、 5、  51

             39、23、 0、  5    、  51>

=<39、62、23、5、   56、    51>

あぁ カンタン。よかったですね。NDT hikaruがあって。わたしは この方法を 高校時代に教えてもらえませんでした。いちいち、xを書いて、計算していたんです。発狂しますよね。

割り算の場合も、同様です。

<39、23、 0、5、  51>÷<1、1>

                     39、-16  16   、-11      

<1、1>  )  <39、23   、 0    、5、     51>

                      39、39

                            -16

                            -16、-16

                                         16、5

                                         16、16、

                                              -11 、   51

                                               -11、  -11

                                                              62

xを 書かないだけでも、こんなにカンタンです。

 

   ******もし、xy+7xxyy+23xxxyのように 変数が 二つの場合、ひとつの変数にのみ 注目し、その他の変数を 定数の文字扱いして、上と同様に表現します。

      xy+7xxyy+23xxxy を x の変数とすると

<23y、7yy、y、0>

一方、yの変数とすると、

<7xx、x+23xxx、0>

となるわけ。変数がいっぱいあることを 多変数と呼びます。多変数のときは、こうして 「1変数化する」のが 常識。

2.乗法の公式。

これは 使い慣れてください。たすきがけについても 説明不要でしょ。特別な方法は ありません。計算を練習すればするほど、得意になれる。100mass計算の後は、100乗法計算を お願いします。

「因数分解」TOP

因数分解して 何がうれしいかって言うと、「次数が下げられる」ことがうれしい。

たとえば 方程式。

(xの4次式)=0   このままだと xの解を求められない。

そこで 因数分解して 次数を下げる

(2次式)(二次式)=0に すれば x の解をもとめることができる。

(x と yの4次式)= 0 の場合でも 同様。これを因数分解して 次数を下げることで、yとxの関係式を求めることができる。

あるいは、整式=0 で 整式の解の答えが 整数のとき、積の形にすることで、会を絞ることができる。

2次以下の 因数分解は、教科書に載っている通り。簡単にできます。

But、

3次、4次は 工夫しないと、因数分解できない。

1.「3,4次の因数分解技術。」

         1.2変数のとき、1変数注目。で  コウベキ順にする。たすきがけ。

         2.xx=t のように 置換できるか 試す。

         3.3変数のとき、一番小さい変数で くくる。

         4.一番高次の係数と 定数 を比べる。因数定理。

         5.多変数で 整式が 対象式のとき a+b+c  abc, ab+bc+caで くくりだせる。(交代式の場合、二変数なら a-b でくくりだせるんだけど、これを 使わずとも、上の 1、つまり 1変数注目で たすきがけすることで 求めることができるの)

         **。問題の製作者が 普通、因数分解を 考えるとき、積の形を あらかじめ作っておいて、それを 展開して、受験生に「 展開した式を 積の形のしろ」と 言ってくる。だから、ときどき、普通 思いつかないような 式変形が 解法の中ででてくるときがある。

でも 良心的な問題を 作る大学なら、そういう変形を つかわないと 答えられないような 問題は作りません。

「整式の割り算」TOP

1.整式の割り算は かならず 上で紹介した「<係数>簡易式」で やる

センター試験で かならず出される整式の割り算。もし あなたが 時間が足りなくなるとしたら、変数を 書いてるから。計算スピードは そのものは 速くならないけど、(そろばん暗算チャンピョンでもない限り) 工夫することで 書く文字を減らすことで、迷いがなくなることで、全体の解答スピードは 上げられる。

「実数」TOP

1.無限小数の分数化。

差分して、繰り返しを打ち消すイメージ。

2.絶対値を くっつける 心理は 「計算の結果 正負どっちでもいいから 結果は正として扱いますよ記号」

たとえば物理で   |FoーF|=f  どっちが大きい力か わからないけど、ちからの大きさが ほしいとき、絶対値をつける。

だから 方程式に わざわざ |x-3|=6 のように 絶対値を つける気にはなりません。これは 計算記号を むやみに いじってるだけです。絶対値で 遊んでいるだけ。

絶対値で 遊ぶためにも、「絶対値を消す」

         2.1.「絶対値を消す方法」

絶対値の中身が 正のときと 負のときで 場合わけする

以上。

だから 式の中に、絶対値が 2個あったら、4回場合わけする。このとき グラフを利用しながら、場合分けするのが 二元論。

「平方根の計算」TOP

1.√に 対して 気持ちわるさを抱くのは、絵を描けないから。

二元論を 数学で 使うというのは 「 定式vsグラフを 常に ペアにする」ということです。

√ のグラフは なぜか √を 習ったときに グラフを 見せてもらえないから、気持ち悪いんです。

2.「両辺、平方根をとる」vs「両辺、二乗する」の 恐ろしさ 、図がないと 同値性を 保てない。だからこそ、絵を書く必要がある。

「xx=A を 解くと、x=+√A  、-√A 」という 呪文を 唱えさせられるのが 「中学校のお勉強」でした。

こういうことをやるから、数学を 嫌いになるんです。

「方程式を解く」というよくわからない演算を 強制的にさせられるのが 中学までの 数学のお勉強です。

「解く」って なんですか?

「解く」じゃなくて、「関数の中に入れる」というが 正しい感覚です。

y=xx の 二次曲線を 、放物線を 思い浮かべてください。(絵は 後日 入れます。)

A=xx ですから、y=Aです。今、y軸上のAから y=xx 曲線に 二つの方向へ

      ☆     ←A→     ☆       飛び出して、曲線にあたって

     ↓                    ↓

     ★                     ★    x 軸上 に 落としてください。

-√A                    +√A

これが 「解く」ではなく、「y=xxの逆関数の中に入れる」という感覚です。

これを 逆関数といいます。普通は、x軸から 飛び出して、y軸へ という流れしか 1,2年では 習わないんですけど、本当におかしい。3年になってやっと学ぶ逆関数。文部科学省は いったい何を考えてるんでしょうか。

これと 同様の感覚が log でもあります。

「両辺に log を とる」=「両辺 logる 」という言葉がある。これも 「y=log x の関数の中に入れる」 という 感覚です。

 

というわけで、√を 考えるときは、つねに y=xx と y軸上の点を 思い浮かべてください。

3.有利化。有理化。

√定数を 有利化するのは 対して、大切じゃないんです。

√変数を 有理化するのが 大切なんです。

積分計算や 極限計算をするとき、√変数の形で、計算できないときがある。それを 有理化することで、計算可能にする。それが 有理化の役割。

定数の有利化は 単なる 数字遊びです。

2.2次関数

「関数とグラフ」TOP

1.f(x)=(x の式)というグラフ。

今まで、整式を やってきましたけど、整式も グラフの形にして はじめて 生命として 呼吸し始める。グラフが 描けない 数式は 死んでいるようなものです。

だから 、みなさんは 整式の展開や 因数分解が 嫌いになるんです。何のために やっているのかわからないから。数と文字で 遊んでいるようにしかみえないのが、グラフのない整式計算です。

整式の 展開や、因数分解は 結局、グラフを書くための 道具でしかない。展開で、グラフを 書いて、因数分解で 交点を求める。

じゃあ、今までの 整式を、グラフしてみましょう。

2.y=f(x)という 写像。Mapping。Image。

x∈X →function →  y∈Y

Xという定義域(Domain)の要素x が Yという値域(Range)の要素y へ 変換する。

たとえば 缶ジュースを買いたい。

「110円を 入れて、スイッチを押す」(Input)→変換→「缶ジュースが 出てくる。」(Output)

自動販売機で ジュースが 買える皆さんは 、すでに この変換作業を うまく 使いこなせているんです。

Function  とは 「変換」であり 「関数」です。

x と y の関係を (x、y)空間で 描いたものが y=f(x)グラフです。

Graph とは Graphic Formulaを 短縮したもの。Graph の意味は、「描いた絵」です。

あるx に 対して、どんな y の値をとるかを 一目瞭然に 絵にしたものが グラフです。

「2次関数のグラフ」TOP

1.「2次関数の絵の描き方。」

         1.1.「2次関数の 形」基本は 「3変数」

3つの変数が 決まると、2次関数は ひとつに決まる。

                 1.1.1.ノーマル

y=axx+bx+c

                 1.1.2.頂点型

y=a(x - p)(x - p)+ q       T (p,q)

これが 一番よく使う。

この形にしてはじめて、具体的な グラフの位置がわかる。

平行移動の問題は この形で移動させる。

                 1.1.3.  解型

y=a(x-α)(x-β)

(x-α)(x-β)=0 にして x軸との交点を 求める。

「グラフの移動」TOP

1.1.2.頂点型

y=a(x - p)(x - p)+ q       T (p,q)を 移動させるだけ。

「2次関数の決定」TOP

1.「2次関数の3変数を 等式条件から 求める」

「3変数」=「3つの等式条件」

変数の数と 等式の数が 一致しているとき、かならず 変数を 求めることができる。

たしかに いろんな 等式条件があるんですけど、データベースに するまでもなく カンタンです。

結局、値を代入して、等式条件を だすだけ。

イメージは

(条件)→(等式条件  f(a,b,c,)=0 )(等式条件  f(a,b,c,)=0 )(等式条件  f(a,b,c,)=0 )、合計三つ。→ 変数a,b,c が求まる。

** コメントで リクエストを いただければ、等式条件の データベースを 紹介します。

「2次関数の最大最小」TOP

1.動かない 2次関数の m&M を 定量

minimum and  Maximum  m は 小さいので、小文字。M は 大きいので 大文字。

         1.1.「2次関数」の曲線を描く。

定義域から 値域を 求める。値域のm と M を 求める。カンタン。

つまり 「グラフを書くこと」と 「m&M を もとめる」は 同値です。

2.動く2次関数の m&M を 定量

2次関数が動く場合、必ず、定義域は 定数です。

2次関数の位置によって、m&Mが 変化するのを楽しみましょう。

U型 の2次関数で データベース。

         2.1.M m型

頂点が 左に飛び出てる。

         2.2.M mφ型

頂点が 中に入ってるけど、左側に頂点がある。φは 端の点が Mでないってこと。ファイ。空ってこと。

         2.3.M m M型

ちょうど 頂点が 定義域の中間にある。

         2.4.φm M型

2.2.と 同様に、右側に偏ってる。

         2.5.mM 型

2.1.と 同様に 右に 頂点が飛び出てる。

この場合わけをすれば、すべての m &M を とられることができる。

 

3.止まった2次関数と 動く定義域の m&M 定量

主語と 目的語は 違うけど、うえの 2 とまったく同様の 場合わけをすることになる。

定義域の 動き方は、

         3.1.片方 びよーん型

0<x<a のようなタイプ。

         3.2.カニ歩き型

a<x<a+1 のようなタイプ。

幅一定で、カニ歩きするように 定義域が 動く。

「いろいろな関数」TOP

1. 上下に動ける2次関数と 動く定義域の mの関数。

動かす変数は a で 共通。

m を a で 表現して、(a,f(a) )の平面でグラフする。

「2次関数のグラフと方程式」TOP

1.「2次方程式を解く」という言葉は 忘れてください。

これからは

「2次関数のx軸の交点を 定量する」と 行ってください。上の言葉は 百害あって0.1利もありません。

グラフという命を 式に与えてあげれば、

「判別式Dの正負 は 頂点の位置を表している」と わかります。

2.「解の個数問題」というか「交点の個数問題」

「解」という言葉は、グラフが 頭にない人が 作った言葉です。

たとえば 普通の数学の問題は

「2xx-8x+a=0 の解の個数をもとめよ」と書かれています。

でも グラフで 考える人は、

「y=2xx-8x+a と y=0 との交点の 個数をもとめよ」と 解釈します。

「2次関数のグラフと不等式」TOP

1.「2次方程式」という よくわからない言葉から、「2次関数のグラフとx軸との交点」という生きたイメージを 捉えられるようになったら、今度は、「2次不等式」を・・・

「2次不等式」を「2次関数のグラフと、x軸との関係」という生きたイメージへ。

判別D式だけで 定式できます。

2.動く2次関数(1変数入り)の 不等式を満たす条件定式。

定義域によって、定式が変化するのが、動く2次関数の不等式の特徴。

    2.1.不等式を満たすような 定義域の範囲データベース。

                 2.1.1.直線型定義域。

x∈R、定義域は x軸 すべての直線。

-∞ ーーーーーーーーーーーーーーーー→+∞

上の 1は、この場合のみを 考えてます。

                 2.1.2.半直線型定義域。

                               +ーーーーーーーーー→+∞

             たとえば    -39から +∞までの定義域

                 2.1.3.線分型定義域。

                                +ーーーーーーーーーー+

                 たとえば   -29                           +51

         2.2.動く2次関数と 線分の位置関係定式データベース。

U と   +ーーーーーーーーーー+が どういう位置関係になるか。

これは 絵で 説明します。

今まで、なんとかく 行き当たり、ばったりで こういう問題を解いていたから、数学がよくわからないんです。こういうのは トリビアですけど、しっかりと体系的に、データベースになった 知識を 手に入れれば、どれも 同じ問題に見えてくる。

「2次方程式の解の存在範囲」TOP

1.解の存在は 「ちょうちょ図形」で 定式。

x軸上の線分と 2次関数グラフが 交わったことを示す定式。

ちょうちょ図形で 成立している定式は3種類。

x軸上の線分の端の点の座標を、p、q とすると、

         1.1. f(p)とf(q)の正負式

         1.2.頂点が軸より上下式。

これは 判別式Dの正負によって 定式。

         1.3.頂点が 線分よりも 左中右式。

2次関数の頂点のx座標が p や q と どういう関係の場所にあるか定式。

 

2.固定した2次関数と 動く直線との交点の個数 定式。

「固定した2次関数と 動く直線との交点の個数」の解釈を 変えて、「動く2次関数と x軸との交点の個数」 扱いできる。

たとえば、

y=xx+x+1 と y=ax+2の交点を 求める。yを消して、

xx+x+1 =ax+2 として 整理すると、

「xx+(-a+1)x-1 =0 の 式のx軸との交点の個数」

このように 解釈を 変えることで、「直線と曲線の交点の存在性 」を、「x軸との交点の存在性 」という身近な存在に買えることができる。

というわけで、後日、絵を 入れます。

3.三角比

「三角比」TOP

「三角関数ではなく 円関数である」とは 西岡康夫の言葉である。

1.sin、cos、tan の定義式は 円関数。

x、y平面上の、原点中心の 半径1 の 円を 「単位円」と 呼んで、特別扱いする。

この円の上の ある点を 点P(X,Y )とする。

この単位円を ぐるぐる回るグラフが 円関数。

円関数の定式は (X、Y)=(cosθ、sinθ)

P は Point のp。

原点O(オー)(Origine の O)と 点P を 結んだ線分OP のことを 「動径」と呼ぶ。動く半径という意味。

x軸を 始線と 呼び、x軸と動径との左回りのなす角度を θとする。Theta。シータ。(左回りを 正とする。右回りを負とする。ふたつの方向があるベクトル的な シータという変数。通称、媒介変数。パラメーター。Parameter 。ぱらぁ↑メター。XとY は 独立な変数であるθに 従属している。)

このP から x軸と y軸に、直交するような 線分を 垂らす。

x軸との直交点を C、y軸との直交点を Sとする。

それぞれの 交点の座標は、

C(X、0)=(cosθ、0)

S(0、Y)=(0       、sinθ)

と 置換する。これが cosθ と sinθの 定義。

ちなみに、tanθの定義は、「OPの傾き」です。

tanθ=Y/X =sinθ/cosθ

ここでまとめます。

「OPのX成分のおおきさが cosθ」

「OPのY成分のおおきさが  sinθ」

「OPの傾きのおおきさが    tanθ」

どこにも 三角形が 出てきませんよね。だから 三角比とか 三角関数とか 言わないで、円関数って いったんです。

たしかに 直角三角形で 幾何学的に、定義するのは cos =x/r 、sin=y/r を 覚えるためには 有効なんですが、それ以上の 効果はありません。

2.θは つねに30度か 60度の絵を描く。

絵を描くときは、常に具体的な θ=30 とか 60 にする。45 度だと、わかりにくくなる。

3.90-θ、90+θ、180-θ、180+θの変換式。

(cosθ、sinθ、tanθ)=(c、s、t)と 置換する。

θの値が すべての式で 一定の問題中では、θを 書くのが めんどうなので、よく置換します。そちらのほうが、計算が楽だし、計算ミスしにくくなる。

また 置換することによって、見やすくなる。

         3.1.θのplus→minus変換。

さっそく 見やすくやりましょう。

(円関数 -θ系)→(円関数 θ系)

c →c 、s→-s、t  →-t

         3.2.「90度系変換。」

90度系変換をしたら、cがsに sが c に とりあえずなる と覚える。正負は 変換後に あわせる。

c →s 、s→c、t  →1/t

じゃあ 正負を 考える。やることは カンタン。30度の絵 と 120度の絵と60度の絵と-30度の絵 と -120度の絵と-60度の絵 のように 5枚用意する。

120度→30度

たとえば cos120を sin30で 表現すると どうなるか?

cos120=- sin30

   ↑負             ↑正   だから minusを くっつける。

他も同様。

         3.3.「180度系変換」

180度系変換をしたら、正負は 変換後に あわせる。

c →c 、s→s、t  →t

これも5枚の絵。30度の絵 と 210度の絵と150度の絵と-210度の絵と-150度の絵 のように 5枚用意する。

たとえば cos210を cos30で 表現すると どうなるか?

cos210= cos30(×-1)

   ↑負         ↑正   だから minusを くっつける。

他も同様。

大切なのは、暗記ではなく、具体化して 導き、思い出すこと。

「三角比の性質」TOP

1.円関数方程式。

あくまで 三角関数とは 呼びません。指導要領に そむきます。

だって、2次関数は 二次曲線を 表現するのだから

           円関数は     円        を 表現する という    当たり前なことが 「三角関数」という言葉だと 伝わりませんから。

円関数は 解釈の違いによって、2種類のグラフを用意できます。

ひとつな     θによる x、y平面の 円のグラフ。円グラフ。

もう片方は  y=cos x によるx、y平面 の くねくねグラフ。

この両方を駆使して、sin、cos、tanを 二元論的に 理解していきましょう。

         1.円グラフと 直線の交点 定式。

たとえば、sinθ=1/2

○ と Y=1/2   の 2つの交点。sinθは Y軸に おろした点S の y軸の大きさでしたね。だから Y=1/2 なんです。

同様に、cosθ=1/2なら X=1/2 と ○ との交点。

 

同様に、tanθ=1/2 なら m=1/2と○との交点。

tanθ=m (傾きは 普通、小文字 m で 象徴させる)

特に、tanの傾きmの値は、円の点(1.0)の接線上のy座標と 一致するのを 利用する。

ところで 傾きというのは

θは 有名角 なので 求めることができる。

これを 「有名角の θ定式」と 呼ぶ。有名角は 0、30、45、60、90 と その他。

         1.2.くねくねグラフと 線分との交点。

たとえば、sinx=1/2

y=sinx=1/2      は サインカーブと y=1/2 との交点。

1の円関数と違って、交点が いっぱいあるというイメージが広がる。

実は、1の円関数でも 交点が いっぱいあるイメージは 広げる必要があるんですが、それは 数学Ⅱで やります。

3.円関数と 不等式。

上の2と 同様に、二つのグラフを使う。

円関数のほうが、わかりやすい。

4.sin、cosの 入った方程式を解く。

たとえば

3cc-ss=2

c と s は 結局、範囲が -1から 1の変数でしかない。

だから y=(2次関数)=0 で 「2次関数とx軸との交点定式」と まったく同じイメージで、この方程式を解けばいい。別に新しいことは何もないのだ。

でも、小手先の変換に 新しいものがある。

cとsの関係において、成り立つ式があるからだ。「2次関数とx軸との交点定式」と まったく同じイメージを 利用するために、この成り立つ式で変換作業をする必要がある。

c と sは このままだと、2変数なので、cc+ss=1 という等式条件で 変数を減らす。

このデータベースは 数学Ⅱで まとめてやります。それは すべての変換は 数学Ⅱで 出揃うからです。すべての変換を 利用することで、方程式がはじめて 解ける。

というわけで 数学Ⅱのデータベース参照。

「三角形と三角比」TOP

1.平面幾何学に cos、sinを 利用して、辺の長さや 角度を求める。

平面幾何学において 一番大切なのは、「三角形の成立条件を 満たしているか 先に調べること」でした。

その三角形が SSS、SAS、ASA(SSAも)の どれに当てはまっているかわかれば、正弦定理を 使うべきか、余弦定理を使うべきかわかります。

また、円の中の 二つの三角形(一個の四角形)の場合、 SSS、SAS、ASA(SSAも)のどれにも当てはまらないにもかかわらず、ひとつの三角形に決定することができる という特殊条件もあります。それは 「○と□データベース」で 紹介します。

2.正弦定理。というか sin定理

sinのことを 明治時代のひとは 正弦という名前をつけたらしい。余弦は cos。

だから サイン定理という名前のほうがぴんとくる。

         2.1.正弦定理の特徴は?

                 2.1.1.三角形の中で、ひとつの角とその対辺の長さがわかっているなら、S→A。もうひとつのわかっている辺の長さから 、角の大きさがわかる。

A→S。もうひとつのわかっている角の大きさから 、辺のの大きさがわかる。

この言葉の意味を理解してください。

SASあるいは、ASAによって、三角形が ひとつに決まるからこそ、上の定式が 可能なんです。

定式は A、Bが 角度で、a,bが対辺の長さとすると

a:b=sinA:sinB

あるいは

a÷b=sinA÷sinB

あるいは

a:sinA=b:sinB

あるいは

a÷sinA=b÷sinB

(A対Bの 「対」につかう : コロンマークは もともと ÷ と 同じ意味ですから!印刷ミス防止のために :が÷に なっただけですから!ざんねん)

                 2.1.2.外心の 半径がわかっているなら、

S→A。もうひとつのわかっている辺の長さから 、角の大きさがわかる。

A→S。もうひとつのわかっている角の大きさから 、辺のの大きさがわかる。

この 言葉の意味を 理解してください。

これが 外心円○とその△の 三角形の成立条件です。三角形の形は ひとつに決まりませんが、円周角と その対辺の関係は 常に一定というわけです。

定式は

(直径の長さ)sin(ある円周角の大きさ)=(その円周角の対辺の長さ)

3.余弦定理というか cos定理。

         3.1.SSSでAを出す。あるいは、SASで Sを出す。

cos定理は 常に同じ式で書きましょう。わたしは

(ある角の対辺の長さの2乗)=(ある角の左隣の辺の長さの2乗)+(ある角の右隣の辺の長さの2乗)-2(ある角の左隣の辺の長さ)(ある角の右隣の辺の長さ)cos(ある角の大きさ)

の形で いつも書いています。なれないうちは、この形のみで書きましょう。

式は、三平方の定理を 改造したものと思ってください。

正確にデータを 上の式に 代入するコツは 注目する角のとなりに 辺の長さ b とc を 書いて、そのb とc の両方を ひとつの ○で 結ぶことです。

とくに 右辺の最後の項は 5つの要素によって成り立っています。5つを指差し確認しながら、代入しましょう。

(-1)(2倍)(左の辺)(右の辺)(cos 注目角)

 

さて、

センター用に、速く計算するコツを 紹介します。

SSS型の三角から、cosAを 求めたいなら、まず、bb-cc-aa を計算して、2bcを ÷する必要がある。

まず bb-cc-aaについて。

最初から ノートするとき、

    bb

-)cc

    ??

-)aa

     ★★   ÷2bc

のように 縦書きで 計算すると、効率がいいです。これ、わたしのオリジナルの速算。

 

4.センター試験の 数学ⅠA特有の ○と□ の定式

これは 絵を交えてやります。

「三角形の面積」TOP

1、三角形のS式。

Space 定量。これはSAS型。

S=(bcsinA)/2

この式が 数学の△を求める定式のなかで 最もよく使います。

ヘロンは 屁論です。絶対に使いません。

2.三角形面積から 内接円の半径定式。

S=(bcsinA)/2=(a+b+c)r/2

このように 面積の式によって、辺の長さを求める定式は 「明示されない定式」として 有名です。

名前がつかない定式 とでも 言いましょうか。知っていないと、絶対に テストで 答えられない定式なのに、教科書、教師は 絶対に この定式に 名前をつけません。

どうしたことでしょうか。「ヘロンの公式」などという 一度も使わない定式には 立派な名前がついているのに、

S=(bcsinA)/2=(a+b+c)r/2

には 名前がない。名前がないから 対象化できない。覚えられない。整理できない。定式できないの 悪循環が 起こってしまう。

じゃあ、どぞ。「三角形面積から 内接円の半径定式。」こういう名前で どうでしょうか。

「空間図形と三角比」TOP

空間図形も 包丁で切ってしまえば、平面図形と まったく同じですから、新しいことは 何もないんです。

4.式と証明

「恒等式」TOP

1.恒等式のイメージ。

方程式は 二元論的に、絵にすると、「y=f(x)のグラフとx軸との交点」という解釈ができました。

恒等式は どうなるでしょうか?

答えは、二元論的に、絵にすると、「y=f(x)のグラフとy=g(x)グラフが 寄り添うように くっつきながら グラフが 一本になる。」です。

どのx を とってみても、f(x)とg(x)は 同じ値になる。

all x∈R で、f(x)=g(x)が 成り立つとき、この=は という 三本線の イコールに変わります。つまり

f(x)g(x)

これが 恒等式のイメージ。

上の式は、

f(x)-g(x) 0 としても 同じです。

恒等式は、別名 「置換」です。

たとえば 「x+1 を t で 置換する」と言った場合、

x+1  t   xとtの 恒等式なんです。

あるいは 「代入する」という言葉も 恒等式です。

たとえば x 39 を y=xx+xに 代入する というのは 恒等式を 入れているってことになる。

たとえば、整式の割り算の基本関係式。これも 恒等式。置換してるだけだから。

2.方程式と 恒等式の比較。

方程式は 点。Some。∃

恒等式は 線。 All 。   ∀

ALL のA を ひっくりかえした∀ 記号は よく使います。

「すべての実数x で 」という言葉を 記号で 表現すると

「∀x∈R」

シンプルで カンタンに かけますよね。慣れると、こっちの描き方が 楽になります。書きたくなります。

「ある実数y で」なら

「∃y∈R」

「よ」のカタカナ に そっくりな ヨ と∃。実際 区別はつきませんが、    たしか ExistのEを ひっくり返した文字だったような。たぶん。

じゃあ、ふたつを並べて、明示します。

方程式は   「∃x∈R」で xx-x-2=0

恒等式は、 「∀x∈R」で xx-x-2

つまり

方程式の答えは、x=2、-1

恒等式の答えは  「∀x∈R」で は  xx-x-20 が 成立しない  が 答え。

たとえば、

「∀x∈R」で、「∃s、t、u∈R」  は  sxx-tx-2+u

の場合、上の恒等式が 成り立つには、s=t=0,u=2 が 必要であるとなる。

恒等式は、∀x∈Rの x の次数の数だけ、等式条件が 作れる。

さて

ALL の xのすべてで ずらーーーーーーっと条件を満たす イメージ。

そして

Some の xが ぽつ ぽつ と 条件を満たすイメージ。

が お分かりいただけたと思います。

これで

すべてのx のとき あるy では y=ax+b<0 が成り立つような  aと bの定式をもとめろ  とかいう問題でも 怖くないですよね。

(ちなみに、あるyのとき、すべてのx では  y=ax+b<0 が成り立つような  aと bの定式をもとめろ   という問題と 上の問題は まったく別の条件だということが わかりますか?ふっふっふ。絵で 紹介します。アフィリエイトしてくれたらね。)

「等式の証明」TOP

等式とは = です。でも たとえば

「a+b+c=0のとき  aaa+bbb+ccc=3abc となることを 証明しろ」

という問題での = は 恒等式です。方程式ではないので注意。(まあ、そんなことは テストで 出ませんけどね。一応、方程式の= なのか 恒等式の=なのか 区別してくれませんから、敏感になってください)

1.A=Bの等式の証明方法は 3種類。A→B、A→T←B、A←B

右辺から 左辺の形にするか、または その逆。

左辺をいじって、右辺をいじって 同じ形にするか の 3種類。

どっちにしても

A-B→0 の形にするのが、一番ラクかな。どうせ 同じになるんだ と 思って、変形していけば、その通り、同じになります。

等式条件が ある場合、等式条件の使い方データベース。

1.変数を ひとつ減らす。

2.形を保存したまま、対称式の要素を くくりだす。

3.連比なら 第3の変数で すべての変数を表現する。

ここらへんは 一般的に、どの参考書も、データベースが あまり 作られていない分野です。

わたしの細かいデータベースは 後日。お楽しみに。

「不等式の証明」TOP

1.A<B の証明。

         1.1.「0<B-A」 を 証明する。

0よりも 大きいことを 証明する方法は いろいろあるので、片方ゼロにしたほうが 証明しやすいのです。

わたしは この形を 「うさじい」と 呼んでいます。「左右 ジロー」「うさ じろー」「うさじい」NHK のマスコットは どーもくんと うさじい ですから。

また 両辺をあらかじめ、2乗して

0<BB-AA を 証明することを 「うさじじい」と 呼びます。

これ以外の パターンは あんまりない。logを 使うときもありますけど 出ません。

                 1.1.1.「0より大きい」の 証明データベース。

A。2乗を作る。

強制平方完成。対称式の平方完成。

B。条件から 正のみで 表現する。

C。相加相乗絶対不等式をつかう

D。シュワルツ絶対不等式を つかう

「整数の問題」TOP

1.mod の使い方に慣れる。

modulus モデュラス こと モッド。

感覚は、すべての整数を mod 5 なら、5列に 分類する イメージ。

2.積の形を作ることで、絞る。「セキボ」

3.連続した数は Combination

4.整数解をもつ 方程式という条件で 変数を 絞る。

5.素数系問題。

「条件と集合」TOP

数学Aのデータベースで どうぞ。

「必要条件、十分条件」TOP

数学Aのデータベースで どうぞ。

「命題と証明」TOP

数学Aのデータベースで どうぞ。

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2011.06.25 01:36  | # [ 編集 ]













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